【使命】珠算的成熟
明朝时期
1368－1644年 提要明代前期商业贸易兴旺，珠算应用越越广泛，对珠算的研究也随之深入。这一时期珠算算法日趋完善，不但四则运算形成了以口诀为指导的独特运算体系，而且在算盘上进行开方立方运算的技术也已相当成熟。及至明代后期，珠算最终取代筹算而成为社会主要计算方法。 到了明代，由于手工业空前发达，商品贸易兴旺，日益繁重和复杂的计算任，需要人们计算得又快又简便，由此应用珠算的人越越多，珠算和筹算的地位逐渐发生了变化。筹算所占领域逐步缩，最后终于让位于珠算。当然这一过程是逐步演变的，这一点我们从明代文献有关珠算的史料可以看出。 例如明初期1371年刊印的魁本对相四言杂字，是一本看图识字的儿童读物，四字一句，图文对照，书刊有一幅算盘图，图上画的是梁上二珠梁下五珠的十档算盘，这是至今发现最早绘有算盘图的图书。在儿童看图识字的读物绘有算盘图，这说明算盘在明初是民间通行的算具，而不是陌生的新事物，如果你细看一下算盘图的下面，便会发现书在画算盘图的同时，又绘有算子，也就是算筹，这便说明算筹在明初社会上还存在，也就是说，当时算盘和算筹同时存在。 在魁本对相四言杂字刊行后五十年，著有制造算盘规格的木工用书鲁班木经刊行，其卷二著录算盘的规格是一尺二寸长，四寸二分大，框六分厚，九分大，起碗底线。上二子，一寸一分；下五子，三寸一分。长短大，看子而做。因为古人著书均不用标点，因此有珠算研究者这样断句理解的算盘式一尺二寸长，四寸二分大。框六分厚，九分大，起碗底，线上二子，一寸一分；下五子，三寸一分。长短大，看子而做。因此对鲁班木经的算盘是否有横梁，有种种推测有说间是一根细木片，还有说间是一根线，姜克华先生还据此制做了一把可以使用的鲁班算盘，并撰文进行论证。华印椿先生撰写珠算史稿时提出上下珠无颜色区别，必然混淆不清；间是细木片的说法，因没有历史图片证明，也觉欠妥，其后刊行的魁本对相四言杂字已绘有梁算盘，其后刊行的鲁班木经算盘反而是线，使人不可理解。最有不少珠算史研究者在鲁班木经所描述房屋结构的内容，发现有线字的专门术语有多处，如荷叶线棋盘线一字线剑脊线等等。因此推断碗底线是木工师傅的专门术语。所以鲁班木经关于算盘规格的原文句读应为算盘式一尺二寸长，四寸二分大。框六分厚，九分大，起碗底线。上二子，一寸一分；下五子，三寸一分。长短大，看子而做。华印椿先生因之说多年积疑可以消除了。 在这一时期，算盘图不仅在儿童读物和木工专用书出现，在文学著作也已出现。画家杜堇于14651487年间绘制的明代文学巨著水浒人物全图的秦明蒋敬图，绰号神算子的蒋敬，手托一架十五档上二下五七珠大算盘，石桌上放有笔砚纸书等物。当时已有制造标准算盘的要求，儿童读物和文学作品也出现了算盘图，可见珠算已广为流行。与此同时期的算书却仍不提珠算，如1450年刊行的吴敬著的九章详注比类算法大全一书，已开始著录珠算加减乘除口诀，但仍没有明言珠算，不过可以看出珠算已逐渐占据上风了。 到了明代后期，文学作品则只提珠算，不言筹算了，如冯梦龙著警世通言15741646第22卷宋金会写会算， 别船上交易，也有他去拿算盘，登帐簿。醒世恒言15741606第十七卷房木桌上，更无别物，单单一个算盘，九本帐簿。 明末张炳睿山居咏和想着那曲江外冢满渠，午桥庄草满居，件件是伤心景物，拨不就算盘子加减乘除。 后期的算书都已完全采用珠算，并在书绘有算盘图。这是明代1573年徐心鲁订正的盘珠算法，上面有与口诀配套的盘式图。这是算书最早出现的算盘图。另外，明代柯尚迁的数学通轨程大位的算法统宗算法纂要等珠算书均绘有算盘图，较为有意思的是在程大位算法统宗卷十三绘有一幅师生问难图，此图一师二生，左生手执一架九档算盘，每档为上三下七珠的十珠算盘，其有两档上二下六珠，这种盘式尚属首见，明代是否通用过这种十珠算盘，还有待考证。 这些史料证明，明代后期的珠算，已完全取代筹算了，而在这一演变过程，有许多杰出的数学家和珠算家做出了不可磨灭的贡献。 筹算的加减不用口诀，而珠算却有口诀的，那首先著录珠算加减口诀的是谁呢？他就是明代数学家吴敬。吴敬，字信民，号主一翁，杭州仁和县人，他因善算，曾担任过几次浙江布政使司的幕府，掌管全省田赋和税收的会计工作，他费了十多年的心血，于1450年完成杰作九章详注比类算法大全十卷，这部著作汇编了一千多个应用问题的解法，其首次著录加减法口诀，并创造了先十法，书的挨位商除法金蝉脱壳铺地锦都是最早的记载。在他的书，间接地引用了九章算术，并且把他自己搜罗的应用题按照九章名义分类，他这样有意识地提倡古代经典数学，对后数学著作起到了规范作用。如程大位的直指算法统宗就是以九章名义为应用题的分类标帜的。 如果说吴敬在九间详注比类算法大全加减乘除用珠算，开方则用筹算，属于珠筹合用书，那么王文素撰著的新集通证古今算学宝鉴则是第一部纯粹介绍珠算的书。 王文素，明代数学家，字尚彬，山西汾阳人，出身于商人家庭，明成化年随父亲王林经商于直隶，今河北，真定府饶阳，就在此定居。他自幼聪颖，涉猎书史，诸子百家，无一不通，又由于经商的需要，他很就练打算盘，尤其长于算法，他收集了宋代杨辉明代杜文高夏源各家的算书，精心钻研，到正德八年，1513年撰成通证古今算学宝鉴十册，三十卷。当时河北武清县也有一位喜欢算学的人叫杜瑾，比王文素年长。一次他和王文素在清河旅馆相遇，便提出进行一声数学竞赛。王文素欣然答应，结果王文素以超凡出众 的算法获胜。算学宝鉴序这样描写比赛场面的各伸所长，独尚彬公超出人表。年长的杜瑾心悦诚服地说我们这一辈人确实不如文素，文素堪珠算界的精英啊！1535年，意大利也曾有过一次解三次方程的竞赛，古代的数学竞赛，目前能找到记载的，恐怕就是这一次，这次竞赛按年代推测，很可能是一场珠算竞赛。 竞赛后杜瑾看到通证古今算学宝鉴稿本，深加赏叹，愿捐资刻印，并请宝朝珍作序，记下此次珠算比赛经过。 但不知什么原因，杜瑾没有兑现诺言，而王文素自己缺乏资金，没有刊刻发行。他在一首诗写道 有意刊刻财力寡 ，无人成就恨嗟多。良马若非遭伯乐，盐车困死告谁何？可见他当时的困境和一片报之心。正因如此，以致此书 在民间埋没四百多年，几乎失传，因而四百多年各收藏家和公私书目，都没有著录。万幸的是1935年左右，前北图书馆在旧书店发现此书的手抄本，才以善本珍藏，至今为海内孤本。 数学家们通过对算学宝鉴的整理研究，认为此书是明代诸多珠算书，水比较高的一部。王文素在书不但全面继承了前人的算学成就，并且有所创新，如将身前因改进为身前乘，发展了归总还零除法，创造了众九相乘众九为乘实位相同等新法，并对传统的开方法有所改进。新集通证古今算学宝鉴同其后刊行的算法统宗相比，至少说在伯仲之间，但程大位有财力雇工刻板，得以风行宇内，而王文素却因无力刊刻，以至埋没民间，由于这两本书的作者遭遇不同，因而对当时社会发生的影响也就大不相同了。但老天不负有心人，埋没四百年的算学宝鉴没有失传，1998年山西省珠算协会在王文素的家乡汾阳市举行了王文素算学宝鉴研讨会，让尘封四百多年的文化瑰宝真金重烁。 九章详注比类算法大全和新集通证古今算学宝鉴均没有言明珠算，更没有绘出算盘图，到目前所发现的明言珠算且刊有算盘图，以盘式对照口诀说明算法的最早的珠算书是明代徐心鲁订正的盘珠算法。 据盘珠算法书前题徐氏心鲁订正，可知徐心鲁在闽建书林订正盘珠算法，据李俨先生考证，闽建书林是福建在万历年间1573 1619由熊氏陈氏郑氏刻印民间用书的一家书店，盘珠算法是由熊台南刊行的，此书内容比较浅显，是一本民间应用数学书，算法以留头乘归除为主，也杂涉金蝉脱壳铺地锦等算法，应用题有仓储丈量等，卷末有码子暗数，为后世商界所用数码的最早记录。此书在已失传，但日本内阁文库有一本。 当徐心鲁在福建订正盘珠算法后仅五年，同样在福建柯尚迁的数学通轨便著成。 柯尚迁是福建长乐下屿人，明嘉靖二十八年贡生1549，任京师，即今天河北省邢台县丞，曾撰著曲礼外集补学礼六艺，此书附录数学通轨一书，而我南京图书馆收藏的曲礼外集则缺少数学通轨，所以公私书目没有著录此书，但日本三重县收藏有万历年间柯尚迁的数学通轨一册，李俨先生向日本友人借抄得，才得一窥此书全貌，全书内容分四部分，即算学须知，归除诠要，九章释例，九章总义，书的算盘图式，系上二下五珠的十三档算盘，由于数学通轨一书，在明清两代没有在社会上流传。因而在珠算界没有发生应有的作用，但在日本的情况就不同，此书在日本流传很广，影响很大。而在日本流传更广，影响更大的则是数学通轨之后十四年成书的在我们内畅销百年不衰，并风行日本朝鲜及南亚地区，为珠算经典著作直指算法统宗，它的作者便是明代著名珠算家数学家程大位。 程大位，字汝思，号宾渠，安徽休宁率口人，今安徽屯溪市，生于明嘉靖十二年，卒于明万历三十四年，他自幼颖悟过人，诗词文章，书法篆刻，无不精通，但他更长于算学，二十岁后，在长江下游一带经商，收集了大量的古算书，并遍访名师，他四十岁左右，弃商返乡，专心著述，年六十岁时，完成珠算杰作直指算法统宗十七卷，之后他又对算法统宗删繁就简，编成算法纂要四卷。 算法统宗是一部集各种算法算理之大全的珠算著作，是一部兼有教科书工具书及实用手册等诸多功能的雅俗赏趣味盎然的珠算科普著作。该书十七卷，五百九十五个问题，卷一卷二主要介绍珠算基础知识，包括先贤格言算法提纲数学名词解释度量衡田亩制珠算加减法的歌诀等。卷三至卷十二是按九章的章 名命名的各种应用题的计算和解法，并附有珠盘图式，卷十三于十六为难题汇编，卷十七为杂法，附论部分以算学源流为题列出了自1084年以各种数学书目 51种，其36种已失传，他的算学源流使得后的研究者们可以略知明以前数学发展的概况，其意义是很大的。 算法统宗自1592年5月在他的家乡安徽屯溪宾渠旅舍正式刊行面世后，在内外畅销百余年而不衰，其主观原因是程大位在这本书采用精讲多练的编写方法，重点抓留头乘与归除，而讲乘除时，重点抓定位，他讲盘定位法方法简单，易学易懂，所以此书刊行后广泛流传。1598年程大位自己又在算法统宗的基础上删繁就简，从十七卷本压缩精编成四卷本，取名算法纂要，程大位在编算法纂要时，突破了以往算书以九章算法为规范的框框，重点放在乘除，旁及农村应用算法，如土方丈量盘量仓窖等等，算法纂要的出版，更为算法统宗的传播推波助澜。 算法统宗之所以得以风行宇内，客观原因是明朝时期徽商兴起，商教学均需珠算方面的好教本，这为算法统宗提供了阔大无比的市场；而一度雄踞华商业半壁江山的徽商，足迹不但遍布内，并且远至日本泰和南亚各，从而为算法统宗走出徽州，走向全，乃至走向世界，广为传播，提供了媒介与通道；再有，明清时期徽州乃至江南地区刻业蓬勃繁盛，算法统宗一问世便遇上了这刻书风气盛行的大好形势。算法统宗这部风行于海内外的珠算巨著，奠定了程大位在我们乃至世界珠算史上珠算大师的地位。 如果说程大位是从商贸计算实用方面普及珠算，那么与他同时期的朱载育则是从尖端科学研究的实用方面去开拓珠算功能。 朱载育是明代著名的音乐学家数学家和历学家，字伯勤，号句曲山人，是我明王朝宗室，他的父亲朱厚烷被封为郑藩王，因而他降生就被封为世子。他早年跟随舅父何瑭学天文算术，因此精通历学和数学，后因皇室内讧，他父亲获罪入狱，他也被黜，被冤十九年反后，他自愿弃王位而潜心学术，终于成为一代伟大的科学家音乐家数学家天文学家乐器制造家舞蹈设计家和文学家，他的科学成就至今仍对全世界存在着巨大影响。他著有乐律全书律吕正论律吕质疑辩惑，而算学新说则是为对十二音律的计算所著。在这部书他介绍了如何用八十一档大算盘进行归除开方和开立方的计算，所求出的方根和立方根多至二十四五位，如此浩繁复杂的运算，如果没有十分娴熟和高超的计算技术与技巧，几乎是不可能的。值得一提的是，他提出的开方的珠算方法，比程大位至少早了十一年。在书他还首创了并联串联使用算盘，而在算盘上进行九进制和十进制数换算，更体现出他对珠算的运用之妙。 朱载育对珠算的运用而致高妙，说明只把珠算看作商业计算工具打打加减乘除，不能登上大雅之堂是一种误解。其实，从数学上和算法理论上看珠算思想之深刻，算理之精奥，运用之广泛，都有其独到的优势。 明代珠算家们在珠算逐步取代筹算而成为主要计算工具的过程，积极研究，发展创造并推广珠算算法，此时不仅四则运算口诀齐备，而且把算法扩展到开方及解高次方程方面，珠算算法已形成一个完整的体系。 下面是珠算四则运算口诀源流。 珠算加减口诀的源流。 珠算加减口诀，即上法诀和退法诀，首见于明吴敬九章详注比类算法大全的起五诀起十诀破五诀破十诀，明代王文素的新集通证古今算学宝鉴也著录了解这四种口诀， 以上口诀在明代徐心鲁订正的盘珠算法， 综合成全套的上法诀和退法诀，也就是流传到现在的加法口诀和减法口诀。 珠算乘法源流 珠算乘法则源于筹算。古代筹算乘法有上乘和下乘两种。上乘，现称前乘法，是常规算法，具体算法首见于孙子算经，下乘法用得较少，只是上乘法的辅助方法，具体算法首见于夏侯阳算经。由于上乘法用三重张位方式，占地多，速度慢，因此唐宋两代，有些数学家就致力于上乘法的改革，改革的方法大致有两类，一类把三重张位改为二重张位，如南宋杨辉算法通变本末卷上的相乘，或者把三重张位简化为一行列式计算，如唐朝江本著三位乘除一位算法，原书已佚。另一类对乘数是多位数的乘法改用下乘法，简便省事，速度提高了。计算工作者在反复计算实践，受到下乘简便省事的启发，很自然地把一般的多位数乘法仿效下乘法计算，在一般多位数乘法演变为下乘法的过程，出现了破头乘留头乘和掉尾乘等方式 ，而当时又正好风行九九口诀，而留头乘正好适用九九，因此得以推行，占了优势，甚至在一些元明算书都只著录留头乘，而不谈上乘法，上乘法因此衰退，几乎无人运用。在筹算上乘法已成强弩之末，而下乘法风行时期，珠算乘法很自然地顺应当时潮流，只继承筹算的下乘法了。 珠算除法的源流。 珠算除法也是源于筹算除法。传统的筹算除法是商除法，在我古代流行一千多年。所谓商除法就是用被除数和除数比较估计商几，其方法与现在的笔算差不多，因为商数也要另立一列，所以也是三重张位。到了唐宋时代，数学家们力求对筹算除法进行改革，如沈括梦溪笔谈记有增成法。以后在增成法的基础上，经过九归古括和九归新括的演变，还补充了撞归起一歌诀，才逐步完成归除体制，到了元明的算书，都只著录归除，商除法已处于陪衬地位，在筹算归除法处于全盛时代，珠算兴起而代之，自然顺应形势，仍用筹算归除法，如柯尚迁数学通轨程大位算法统宗对除法均以阐述归除为主，而以商除为陪衬。 到明朝时期，珠算四则运算已形成一个完整的体系，阐述这些理论的书籍和算盘一起被传播到外，扩大了珠算在外的影响。 明代珠算先后传入了朝鲜日本泰等邻，其在日本的影响最大。明代传入日本的算书有杨辉的杨辉算法朱世杰的算学启蒙吴敬的九章详注比类大全徐心鲁订正的盘珠算法柯尚迁的数学通轨程大位的算法统宗和算法纂要朱载育的算学新说，有关珠算史料的魁本对相四言杂字也是明代由刻书家陈伯寿传入日本，以上传入的珠算书，影响日本发展的是数学通轨和算法统宗二书，尤以算法统宗的翻刻流传最广。 珠算在明代还传入了泰，十七世纪后期，法人卢贝尔，曾在泰见到人使用的算盘，他在暹罗王历史一书记述了算盘的结构和用法，并对人打算盘的快速感到惊奇，这位法人在暹罗所见算盘虽在十七世纪后期，但根据史料记载，明代徽商已远至日本暹罗，所以算盘可能由徽商传入暹罗。 明代期以后，珠算取代筹算，成为主要计算工具，珠算界人才辈出，珠算书籍畅销不衰，的算盘和珠算书还分别传入朝鲜日本和泰，所以明代我珠算得到极大的发展，成为我珠算的鼎盛时代。
